Università Cattolica del Sacro Cuore

Geometria proiettiva, metrica e combinatoria

(Silvia Pianta - Mario Marchi - Stefano Pasotti)

La ricerca si sviluppa nell’ambito dell’algebra geometrica.

Uno degli obiettivi principali consiste nella formulazione di una teoria unificante in cui si possano far rientrare classi di strutture geometriche, finite ed infinite, apparentemente molto distanti: il concetto unificante è costituito dalla struttura algebrica non associativa di K-loop (o Bruck-loop), che è una sorta di generalizzazione della nozione di gruppo abeliano.

Tale struttura nasce inaspettatamente in ambito fisico: se infatti si considera la composizione relativistica dei vettori velocità determinata dalle trasformazioni di Lorentz, si ottiene un’operazione che non è associativa, ma è comunque dotata di proprietà algebriche forti (esistenza di un elemento neutro e degli inversi, associatività debole di Bol, proprietà automorfica inversa), esattamente quelle che caratterizzano i K-loop.

La medesima struttura non associativa ricompare in ambito algebrico nella rappresentazione dei gruppi di permutazioni strettamente 2-transitivi: è infatti noto che, se nel caso finito ogni gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo si può identificare col gruppo affine di un quasi-corpo associativo (nearfield), nel caso infinito quello che si ottiene è un ente più generale, chiamato near-domain, in cui la struttura additiva, non più associativa, è proprio quella di un K-loop.

Infine, il K-loop si ritrova in ambito geometrico a partire dall’insieme delle simmetrie centrali di un piano assoluto (non necessariamente continuo o archimedeo): tale insieme, con la sua azione strettamente transitiva, induce nell’insieme dei punti del piano una struttura di quasigruppo di Bol semisimmetrico che, per isotopia, produce un K-loop. Nel caso euclideo (ma non solo) tale K-loop è addirittura un gruppo abeliano, il gruppo delle traslazioni del piano, mentre nel caso iperbolico l’insieme delle traslazioni iperboliche (boosts) determina un K-loop proprio. Gli automorfismi dei K-loop associati sono poi correlati alla classificazione dei piani assoluti e all’analisi delle proprietà geometriche che li caratterizzano e dei loro gruppi di movimenti.

Dall’altro lato, sempre in ambito geometrico, ma considerando strutture combinatorie e geometrie finite, si possono costruire notevoli classi di K-loop finiti associati a 3-reti e quadrati latini con speciali proprietà, o anche ad una particolare classe di colorazioni minimali (1-fattorizzazioni) di grafi completi, semplici (nel caso di esponente 2) e con cappi nel caso generale, o di grafi bipartiti completi. In tutti questi casi, le proprietà algebriche e gli automorfismi del loop si riflettono elegantemente in proprietà configurazionali del grafo corrispondente e nei relativi automorfismi che preservano la colorazione (o 1-fattorizzazione).

Tale studio si inserisce poi nel più vasto ambito della teoria dei disegni, finiti ed infiniti, disegni divisibili e disegni trasversali (che conducono anche agli spazi lineari con parallelismo e agli spazi di traslazione), e trae motivazioni ed esempi significativi nell’ambito della geometria affine e proiettiva, in cui si studiano quadriche e varietà hermitiane, fibrazioni di rette, parallelismi non classici ed altre strutture combinatorie connesse con gruppi ortogonali ed unitari, fino ad arrivare all’analisi di algebre quadratiche di quaternioni o di ottetti generalizzati costruite su campi qualsiasi.
In questo ambito, la ricerca si è focalizzata su una generalizzazione dei classici parallelismi di Clifford, ottenuta utilizzando corpi di quaternioni su campi dotati di diverse estensioni quadratiche; notevolmente interessante è pure la descrizione geometrica di tali parallelismi, basata sulla costruzione di famiglie di quadriche iperboliche in spazi proiettivi su quei campi K che sono estensioni quadratiche di F contenute nel corpo di quaternioni considerato.
 

Parole chiave

  • loop
  • strutture di riflessione
  • simmetrie di piani assoluti
  • fattorizzazioni di grafi
  • parallelismi di tipo Clifford in spazi proiettivi e quaternioni generalizzati
  • spazi di traslazione
  • disegni trasversali
     

Responsabile

Collaborazioni nazionali e internazionali

  • Elena Zizioli, Luca Giuzzi, Anita Pasotti (Università degli Studi di Brescia),
  • Francesco Prantil (Università degli Studi di Trento),
  • Andrea Blunck (Universitäet Hamburg),
  • Helmut Karzel (Technische Universitäet Muenchen),
  • Hans Havlicek (Technische Universitäet Wien)>
     

Progetti in corso

  • PRIN 2005 - “Strutture Geometriche, Combinatoria e Applicazioni”
     

Principali pubblicazioni

  • Karzel H., PIANTA S.
    Bynary operations derived from symmetric permutation sets and  applications to absolute geometry, Discrete Math. 308, no.2-3, 415-421 (2008).
  • PASOTTI S., Prantil F.,
    Holomorphic triples of genus 0. Cent. Eur. J. Math. 6, 129-142 (2008).
  • PASOTTI S., Prantil F.
    Holomorphic triples on elliptic curves Results Math. 50, no. 3-4, 227-239 (2007).
  • Blunck A., PASOTTI S., PIANTA S.
    Generalized Clifford parallelisms. Quaderno del Seminario Matematico di Brescia, 20 /2007 (presentato per la pubblicazione).
  • Karzel H., MARCHI M., PIANTA S.
    Legendre-like theorems in a general absolute geometry Res. Math. 51, 61-71 (2007).
  • Blunck A., PIANTA S.
    Lines in 3-space. (in corso di stampa in Mitt. Math. Ges. Hamburg ).
  • Karzel H., MARCHI M.:
    Classification of general absolute geometries with Lambert-Saccheri quadrangles. Le Matematiche. vol. 61, n. 1, 27-36 (2006),.