Università Cattolica del Sacro Cuore

Algebra

(M. Chiara Tamburini - Clara Franchi)

L’attività di ricerca ha per oggetto la teoria dei gruppi e si può suddividere nei seguenti  ambiti di interesse.

Caratterizzazione di alcuni gruppi semplici sporadici

Uno dei risultati più importanti della matematica del XX secolo è la classificazione dei gruppi semplici finiti. Essa è stata realizzata grazie al contributo di numerosissimi studiosi nell’arco di circa quarant’anni. I 26 gruppi semplici sporadici rappresentano, all’interno del teorema di classificazione, una sorta di “anomalia” in quanto hanno caratteristiche particolari delle quali non si è ancora riusciti a dare una descrizione omogenea. Inoltre si è ormai convinti che essi abbiano legami con la fisica, che per il momento rimangono misteriosi. Lo scopo di questa ricerca è dare una nuova caratterizzazione di tre gruppi semplici sporadici: il gruppo di Lyons, il famoso Mostro e un suo sottogruppo chiamato Baby Mostro.

Generazione di gruppi

Un problema centrale in teoria dei gruppi,  anche per le sue applicazioni,  è  il seguente: per un dato gruppo,  fornire un suo sottoinsieme di cardinalità minima, o con determinate caratteristiche,  atto a generarlo. Ci occupiamo di alcuni aspetti di questo vasto problema, soprattutto in riferimento ai gruppi classici di matrici su un anello commutativo  e, in particolare, ai gruppi semplici finiti di tipo di Lie.  I metodi utilizzati per tale studio sono principalmente: l’algebra lineare,  la teoria delle rappresentazioni dei gruppi,  la classificazione dei sottogruppi massimali dei gruppi classici finiti.  Per gli  aspetti computazionali più complessi, ci avvaliamo del  software algebrico Magma-Cayley.

Gruppi di permutazioni

Per il teorema di Cayley, ogni gruppo finito si rappresenta fedelmente come gruppo di permutazioni di un insieme finito. Una rappresentazione permutazionale minimale e' una rappresentazione permutazionale su un insieme di cardinalita' minima. Questa ricerca si propone di analizzare le connessioni tra una  rappresentazione minimale di un gruppo finito e le rappresentazioni minimali di certi suoi quozienti, in particolare di quelli abeliani.

Responsabili

  • M. Chiara Tamburini (c.tamburini @dmf.unicatt.it)
  • Clara Franchi (c.franchi@dmf.unicatt.it)

Collaborazioni nazionali e internazionali

  • Prof. Maxim Vsemirnov (Steklov Institute e Università di Stato, San Pietroburgo, Russia),
  • Prof. Mario Mainardis (Università di Udine, Italia), 
  • Prof. Ron Solomon (Ohio - State Univesity, Stati Uniti)
  • Prof. Marco Pellegrini (Università di Brasilia, Brasile)
  • Dr. Attila Maroti (Università di Budapest, Ungheria)

Progetti in corso

PRIN 2009 - Teoria dei gruppi e Applicazioni

Principali pubblicazioni

  • C. Franchi, On minimal degrees of permutation representations of abelian quotients of finite groups,  Bull. Austr. Math. J. 84 (2011), 408-413.
  • A. Maroti and  M.C.Tamburini,  Bounds for the probability of generating the symmetric and alternating groups,  Arch. Math. Vol. 96 (2), 115--121 (2011).
  • C. Franchi, M. Mainardis, R. Solomon,  A characterization of HN: addendum, J. Group Th. 13 (2010), - 151-153. 
  • M. Pellegrini and  M.C.Tamburini,  Hurwitz generation of the universal covering of Alt(n), J. Group Theory 13 (2010), no. 5, 649–657.
  • C.Tamburini and M.Vsemirnov, Irreducible (2,3,7)-subgroups of PGL(n,F), n<8, II, J. Algebra 321 no. 8,  2119-2138 (2009). 
  • C.Tamburini, The (2,3)-generation of matrix groups over the integers, Proceedings of the Conference Ischia Group Theory 2008, Ischia 1--4 April 2008, World Scientific, 258--264 (2009).
  • C. Franchi, M. Mainardis, R. Solomon, A characterization of HN, J. Group Th. 11 (2008), - 357-369. 
  • C. Franchi, M. S. Lucido, M. Mainardis, A characterization of the sporadic, group of Lyons, J. Algebra 319 (2008), 847-867.