Università Cattolica del Sacro Cuore

Algebra

(Clara Franchi, Marco Antonio Pellegrini)

L’attività di ricerca si focalizza sulla teoria dei gruppi e questioni ad essi collegate e si può suddividere nei seguenti ambiti di interesse.

Rappresentazioni di Majorana dei gruppi finiti e algebre assiali.

Uno dei risultati più importanti della matematica del XX secolo è la classificazione dei gruppi semplici finiti. Essa è stata realizzata grazie al contributo di numerosissimi studiosi nell’arco di circa quarant’anni. Uno dei più interessanti gruppi semplici finiti, per le sue ancora misteriose connessioni con la teoria dei numeri e la fisica teorica, è il gruppo Mostro di Fischer-Griess. Al fine di rendere la costruzione e lo studio del Mostro indipendente dall’algebra di Griess e dalle Vertex Operator Algebras, Ivanov ha introdotto il concetto di algebra di Majorana e rappresentazioni di Majorana per i gruppi finiti. Tale concetto è stato generalizzato da Shpectorov con l’introduzione delle algebre assiali.

Ci occupiamo in particolare dello studio delle rappresentazioni di Majorana dei gruppi simmetrici e dello studio delle algebre assiali n-generate.

Generazione di gruppi

Un problema centrale in teoria dei gruppi,  anche per le sue applicazioni, è il seguente: per un dato gruppo, fornire un suo sottoinsieme di cardinalità minima, o con determinate caratteristiche, atto a generarlo. Ci occupiamo di alcuni aspetti di questo vasto problema, soprattutto in riferimento ai gruppi classici di matrici su un anello commutativo e, in particolare, ai gruppi semplici finiti di tipo di Lie. I metodi utilizzati per tale studio sono principalmente: l’algebra lineare, la teoria delle rappresentazioni dei gruppi, la classificazione dei sottogruppi massimali dei gruppi classici finiti.

Rappresentazioni e caratteri di gruppi

La teoria delle rappresentazioni permette di realizzare un gruppo come un gruppo di matrici su cui poter concretamente effettuare computazioni. Noi ci occupiamo in particolare di rappresentazioni e caratteri di gruppi semplici: ad esempio, studiamo gli autovalori delle matrici che nascono da tali rappresentazioni, o anche proprietà che possono essere riconosciute considerandone la tavola dei caratteri.

Decomposizioni cicliche di grafi

Studiamo l’azione regolare di gruppi su decomposizioni di grafi semplici in cicli. In particolare, consideriamo grafi multipartiti completi. Ci interessiamo anche di varie congetture che sono state espresse in quest’ambito, anche tramite l’utilizzo di oggetti combinatorici.

Collaborazioni nazionali e internazionali

  • Lino Di Martino (Università degli Studi di Milano-Bicocca)
  • Alexander A. Ivanov (Imperial College - London, UK e Institute for System Analysis FRC, CSC, RAS, Russia)
  • Mario Mainardis (Università di Udine)
  • Fiorenza Morini (Università di Parma)
  • Anita Pasotti (Università degli Studi di Brescia)
  • Sergey Shpectorov (University of Birmingham, UK)
  • Alexandre Zalesski (Academy of Science of Belarus, BY)

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