Università Cattolica del Sacro Cuore

Analisi numerica: equazioni alle derivate parziali

(Maurizio Paolini - Franco Pasquarelli)

L’Analisi Numerica (e Calcolo Scientifico) si occupa della ricerca di soluzioni approssimate di problemi di grande complessità di cui non è possibile fornire la soluzione esatta.
Tali problemi, spesso comprendenti equazioni alle derivate parziali, nascono tipicamente da situazioni concrete in svariati ambiti (fisico, ingegneristico, finanziario) come anche da problemi di carattere puramente matematico-teorico.
La soluzione approssimata viene ottenuta con l’ausilio di strumenti di calcolo (elaboratori elettronici), da cui nasce anche una naturale relazione di interdisciplinarietà con l’Informatica, anch’essa presente presso il Dipartimento.
In questo ambito il gruppo di lavoro si è recentemente occupato della simulazione numerica di evoluzione geometrica di fronti.
Il problema modello è l’evoluzione di superfici nello spazio, o di ipersuperfici in spazi di dimensione più elevata, con una velocità proporzionale alla curvatura media locale.
In figura 1 ad esempio è visualizzata una sezione tridimensionale di un toro (ciambella) immerso nello spazio quadridimensionale che evolve nel tempo in accordo con questa legge.
Nella figura è rappresentata la ipersuperficie a due diversi istanti temporali, uno di questi corrisponde all’istante in cui il foro della ciambella si chiude nell’origine del quadrispazio e la superficie quindi subisce un cambiamento topologico. In figura 2 è invece rappresentato il risultato dell’evoluzione di una superficie inizialmente sferica con una legge di evoluzione simile alla precedente ma in un ambiente anisotropo (ovvero con proprietà non uniformi nelle varie direzioni). In particolare l’anisotropia scelta per questo esempio corrisponde ad una situazione estrema (anisotropia cristallina).
 

Parole chiave

  • Problemi di transizione di fase
  • Equazioni di reazione-diffusione
  • Evoluzione geometrica di superfici
  • Anisotropia
     

Responsabile

Collaborazioni nazionali e internazionali

  • Università di Roma Tor Vergata (Italia)
  • Hokkaido University (Giappone)
  • University of Warsaw (Polonia)
  • Università di Pisa
     

Progetti in corso

  • PRIN05 - Metodi variazionali e topologici nello studio di fenomeni non lineari
     

Principali pubblicazioni

  • M. Paolini, F. Pasquarelli,
    Unstable Crystalline Wulff Shapes in 3D, Proceedings Variational methods for discontinuous structures, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications 51 (Birkhauser, Basel 2002), 141-153.
  • Y. Giga, M. Paolini, P. Rybka,
    On the motion by singular interfacial energy, Japan J. Indust. Appl. Math., 18, 47-64 (2001).
  • G. Bellettini, M. Novaga, M. Paolini,
    On a crystalline variational problem, part II: BV-regularity and structure of minimizers on facets, Arch. Ration. Mech. Anal. 3, 193-217 (2001).
  • G. Bellettini, M. Novaga, M. Paolini,
    On a crystalline variational problem, part I: first variation and global L-infinityregularity, Arch. Ration. Mech. Anal. 3, 165-191 (2001).
  • G. Bellettini, M. Novaga, M. Paolini,
    Facet-breaking for three dimensional crystals evolving by mean curvature, Interfaces and Free Boundaries 1, 39-55 (1999).