Analisi numerica
(Francesco Ballarin, Maurizio Paolini)
L’Analisi Numerica (e Calcolo Scientifico) si occupa della ricerca di soluzioni approssimate di problemi di grande complessità di cui non è possibile fornire la soluzione esatta.
Tali problemi, spesso comprendenti equazioni alle derivate parziali, nascono tipicamente da situazioni concrete in svariati ambiti (fisico, ingegneristico, finanziario) come anche da problemi di carattere puramente matematico-teorico.
La soluzione approssimata viene ottenuta con l’ausilio di strumenti di calcolo (elaboratori elettronici), da cui nasce anche una naturale relazione di interdisciplinarietà con l’Informatica, anch’essa presente presso il Dipartimento.
1. Evoluzione geometrica di superfici
In questo ambito il gruppo di lavoro si occupa della simulazione numerica di evoluzione geometrica di fronti.
Il problema modello è l’evoluzione di superfici nello spazio, o di ipersuperfici in spazi di dimensione più elevata, con una velocità proporzionale alla curvatura media locale.
In figura 1 ad esempio è visualizzata una sezione tridimensionale di un toro (ciambella) immerso nello spazio quadridimensionale che evolve nel tempo in accordo con questa legge.
Nella figura è rappresentata la ipersuperficie a due diversi istanti temporali, uno di questi corrisponde all’istante in cui il foro della ciambella si chiude nell’origine del quadrispazio e la superficie quindi subisce un cambiamento topologico. In figura 2 è invece rappresentato il risultato dell’evoluzione di una superficie inizialmente sferica con una legge di evoluzione simile alla precedente ma in un ambiente anisotropo (ovvero con proprietà non uniformi nelle varie direzioni). In particolare l’anisotropia scelta per questo esempio corrisponde ad una situazione estrema (anisotropia cristallina).
2. Fluidodinamica numerica e meccanica computazionale
In molti casi, le equazioni alle derivate parziali di interesse provengono da problemi di fisica matematica, ad esempio in meccanica dei continui solidi, dinamica dei fluidi e mezzi porosi. In quest'ambio il gruppo di lavoro si occupa di formulare e analizzare tecniche di analisi numerica, basate in particolare su metodi agli elementi finiti, per la risoluzione di tali problemi. Tale ricerca affronta sia aspetti metodologici sia applicazioni a problemi concreti. Per quanto riguarda gli aspetti relativi alla ricerca sui metodi numerici, gli obiettivi sono principalmente da ricercare all'interno dello studio dei metodi agli elementi finiti, e loro varianti. Tali metodi sono poi applicati a problemi reali quali fluidodinamica nel sistema cardiovascolare umano e meccanica in mezzi porosi quali giacimenti.
3. Metodi di riduzione della complessità computazionale
La simulazione numerica di problemi governati da equazioni alle derivate parziali tipicamente richiede elevati tempi computazionali, specialmente per problemi evolutivi come nel primo ambito di ricerca o per problemi complessi come nel secondo ambito di ricerca. Tali tempi di calcolo sono compatibili con una, o comunque poche, simulazioni del problema di interesse, ma diventano presto eccessivi nel caso in cui si sia interessati a risolvere un problema inverso, quale ad esempio l'ottimizzazione di un parametro da cui il problema di interesse dipende. Per questo motivo, il gruppo di lavoro sviluppa varie tecniche di riduzione della complessità computazionale, basate in particolare su metodi alle base ridotte. Tali metodi permettono in molti casi di combinare il rigore metodologico dei metodi agli elementi finiti (ad esempio, stime dell'errore) con tempi computazionali estremamente ridotti (nei casi migliori, anche di cinque ordini di grandezza), senza sacrificare la precisione nel calcolo.
4. Sviluppo di software open-source per didattica e ricerca
Il gruppo di lavoro sviluppa software che viene utilizzato sia nell'ambito dei progetti di ricerca illustrati in precedenza, sia nell'ambito dell'attività didattica per i corsi offerti dalla Facoltà. Alcuni dei più recenti progetti sono:
- RBniCS - reduced order modelling in FEniCS, sviluppato principalmente nell'ambito della terza attività di ricerca,
- multiphenics/multiphenicsx - easy prototyping of multiphysics problems in FEniCS/FEniCSx, sviluppati principalmente nell'ambito della seconda attività di ricerca,
- FEMlium - interactive visualization of finite element simulations on geographic maps with folium, sviluppato principalmente nell'ambito della seconda attività di ricerca,
- FEM on Colab/FEM on Kaggle, sviluppati principalmente a fini dell'attività didattica.
Collaborazioni nazionali e internazionali
- Cornell University (Stati Uniti)
- Florida State University (Stati Uniti)
- Hokkaido University (Giappone)
- Politecnico di Milano (Italia)
- Sandia National Laboratories (Stati Uniti)
- Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (Italia)
- Università di Pisa (Italia)
- Università di Roma Tor Vergata (Italia)
- University of Warsaw (Polonia)
- Virginia Tech (Stati Uniti)