(Marco Degiovanni - Giovanna Marchioni - Marco Marzocchi)

L’attività di ricerca ha per oggetto lo studio delle equazioni differenziali non lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali, con metodi di tipo variazionale.
Il comportamento dei fenomeni naturali è usualmente descritto da funzioni che devono soddisfare delle equazioni che coinvolgono le derivate delle funzioni stesse e sono quindi dette equazioni differenziali. A meno che lo studio non avvenga a livello microscopico con poche particelle coinvolte, tali equazioni non sono lineari e può essere estremamente arduo descriverne le soluzioni.
Già nel XVIII secolo era stato osservato che spesso le funzioni che descrivono i fenomeni naturali minimizzano, o rendono stazionari, degli opportuni funzionali definiti sulle funzioni stesse. Per un secolo e mezzo tale fatto era stato considerato come una interessante proprietà delle soluzioni, ottenute per altra via, di certe equazioni differenziali. Nella prima metà del XX secolo è stato invece proposto un rovesciamento di prospettiva, ossia utilizzare tale minimalità o stazionarietà per arrivare alle soluzioni dell’equazione differenziale. È il programma che ha segnato la nascita dei Metodi diretti del calcolo delle variazioni o Metodi variazionali, inizialmente confinati al caso della minimalità, ma ben presto estesi in modo da poter trattare anche la stazionarietà. L’idea si è rivelata estremamente feconda e ha avuto grande sviluppo fino a diventare un filone principale dell’Analisi matematica, in cui l’Italia si è collocata, a partire dagli anni ‘60, in posizione di avanguardia.
 

Metodi variazionali per funzionali non regolari

L’esigenza di collegare funzionale ed equazione differenziale ha portato a considerare, anzitutto, il caso in cui il funzionale stesso soddisfi delle opportune condizioni di regolarità. Queste si sono però rivelate, con l’allargarsi degli ambiti a cui l’approccio variazionale veniva applicato, sempre più restrittive. Per questo motivo, a partire dagli anni ‘60 per lo studio della minimalità e dagli anni ‘80 per lo studio della stazionarietà, si è sviluppato un sottofilone dedicato allo studio con metodi variazionali di equazioni differenziali il cui funzionale associato non soddisfi le condizioni di regolarità ormai classicamente codificate.
L’attività del gruppo si colloca all’interno di quest’ultimo filone di ricerca.
 

Parole chiave

• Equazioni differenziali non lineari
• Metodi variazionali
• Funzionali non regolari
   

Responsabile

• Marco Degiovanni (m.degiovanni@dmf.unicatt.it)
   

Collaborazioni nazionali e internazionali

• Università degli Studi di Pisa
• Università degli Studi di Bari
• Politecnico di Torino
• Università degli Studi di Verona
• Università di Giessen (Germania)
   

Progetti in corso

• PRIN07 - Metodi variazionali e topologici nello studio di fenomeni non lineari
   

Pubblicazioni principali

• T. Bartsch and M. Degiovanni,
  Nodal solutions of nonlinear elliptic Dirichlet problems on radial domains, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 17, n. 1, 69-85 (2006).
• S. Cingolani and M. Degiovanni,
  Nontrivial solutions for p-Laplace equations with righthand side having p-linear growth at infinity, Comm. Partial Differential Equations 30, n. 8, 1191-1203 (2005).
• M. Degiovanni and S. Lancelotti,
  Linking over cones and nontrivial solutions for p-Laplace equations with p-superlinear nonlinearity, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 24, n. 6, 907-919 (2007).
• M. Degiovanni, A. Musesti and M. Squassina,
  On the regularity of solutions in the Pucci-Serrin identity, Calc. Var. Partial Differential Equations 18, n. 3, 317-334 (2003).
• S. Lancelotti and M. Marzocchi,
  Lagrangian systems with Lipschitz obstacle on manifolds, Topol. Methods Nonlinear Anal. 27, n. 2, 229-253 (2006).